import numpy as np from scipy import stats class RJMCMC_Sampler: def __init__(self, y, u, k_min=1, k_max=10, initial_k=None, initial_a=None, initial_b=None): """ 初始化采样器 参数: y (array): 观测到的输出序列 u (array): 已知的输入序列 k_min (int): 探索的最小模型阶数 k_max (int): 探索的最大模型阶数 initial_k (int, optional): 初始模型阶数 initial_a (dict, optional): 初始多项式系数 initial_b (array, optional): 初始多项式系数 """ # 定义观测数据 self.y = y self.u = u self.N = len(y) # 定义模型阶数 self.k_min = k_min self.k_max = k_max gamma_sample = np.random.gamma(shape=2, scale=1) self.current_k = initial_k if initial_k is not None else min(max(int(gamma_sample), k_min), k_max) # 初始化多项式系数 if initial_a is not None: self.current_a = initial_a else: self.current_a = self._generate_stable_a(self.current_k) # 定义标准型的b系数 if initial_b is not None: self.current_b = initial_b else: self.current_b = self._generate_observable_b(self.current_k) # 初始化噪声先验 (假设为 Gamma 先验) self.lambda_a_w = 1e-3 # 过程噪声精度的先验 self.lambda_b_w = 1e-3 self.lambda_a_z = 1e-3 # 观测噪声精度的先验 self.lambda_b_z = 1e-3 # 初始化噪声方差 (从先验采样) self.current_sigma2_w = 1.0 / np.random.gamma(self.lambda_a_w, 1.0/self.lambda_b_w) self.current_sigma2_z = 1.0 / np.random.gamma(self.lambda_a_z, 1.0/self.lambda_b_z) def _update_current_eigenvalues(self): """一个辅助函数，根据 current_a 更新 current_eigenvalues。""" if self.current_k > 0: poly_coeffs = np.concatenate(([1], -self.current_a[::-1])) self.current_eigenvalues = np.roots(poly_coeffs) else: self.current_eigenvalues = np.array([]) def _cal_current_eigenvalues(self, a_coeffs_temp): """一个辅助函数，根据给定的 a_coeffs 计算对应的特征值。""" k = len(a_coeffs_temp) if k > 0: poly_coeffs = np.concatenate(([1], -a_coeffs_temp[::-1])) return np.roots(poly_coeffs) else: return np.array([]) def _cal_current_a_coeffs(self, eigenvalues_temp): """一个辅助函数，根据给定的特征值计算对应的 a_coeffs。""" k = len(eigenvalues_temp) if k > 0: # np.poly 返回 [1, a_{k-1}, ..., a_0]，去掉首项“1”，反转剩下的 poly_coeffs = np.poly(eigenvalues_temp) return np.real(poly_coeffs[1:][::-1]) else: return np.array([]) def _log_prior_eigenvalues(self, eigenvalues): """ 计算 k 个特征值 (Lambda) 的对数先验概率 log p(Lambda)。 该先验基于论文 4.1.1 节 讨论的先验： 1. 稳定性：如果任何 |lambda| >= 1，先验概率为 0 (log(0) = -inf)。 2. 实数根 (p_real)：在 (-1, 1) 上均匀分布, p(lambda_r) = 1/2。 log p(lambda_r) = -log(2)。 3. 复数根 (p_complex)：在单位圆盘上均匀分布, p(lambda_c) = 1/pi。 log p(lambda_c) = -log(pi)。 注意：复共轭对 (lambda, lambda_conj) 只计算一次 (例如上半平面)。 我们通过只计算 imag(lambda) >= 0 的复数根来实现。 """ log_prior = 0.0 # 跟踪已处理的复数根 (避免重复计算共轭对) processed_complex = set() for eig in eigenvalues: if np.abs(eig) >= 1.0: # 违反稳定性约束 return -np.inf if np.isclose(eig.imag, 0): # 是实数 # 这是 "Uniform real-eigenvalue prior" log_prior += -np.log(2.0) else: # 是复数 # 检查是否已处理过 if eig in processed_complex or np.conjugate(eig) in processed_complex: continue # 我们只计算 imag >= 0 的根 (代表一对) if eig.imag >= 0: # 这是 "Polar-coordinate prior" log_prior += -np.log(np.pi) processed_complex.add(eig) return log_prior def _log_prior_eigenvalues_to_a(self,eigenvalues): """ 计算从特征值 (eigenvalues) 到多项式系数 a = [a_0, ..., a_{k-1}] 的对数先验概率。 该方法基于 Proposition 4.2 (Change of variables) log p(a) = log p(Lambda) - log(|det J|) 其中 log p(Lambda) 是特征值的先验 而 log(|det J|) 是维塔变换的对数雅可比行列式。 """ # 计算 log p(Lambda) log_prior_lambda = self._log_prior_eigenvalues(eigenvalues) # 如果特征值不稳定 (log p(Lambda) = -inf)，则 p(a) 也不可能 if log_prior_lambda == -np.inf: return -np.inf # 计算对数雅可比行列式 log(|det J|) log_det_jacobian = 0.0 k = len(eigenvalues) if k < 2: return log_prior_lambda for i in range(k): for j in range(i + 1, k): diff = eigenvalues[i] - eigenvalues[j] abs_diff = np.abs(diff) if abs_diff == 0: return -np.inf # 重根导致雅可比行列式为零 log_det_jacobian += np.log(abs_diff) if log_det_jacobian == -np.inf: return -np.inf # 应用变量替换公式 log_prior_a = log_prior_lambda - log_det_jacobian return log_prior_a def _log_likelihood(self, k, a_coeffs, b_coeffs, sigma2_w, sigma2_z): """ 计算给定参数下的对数似然 log p(y | k, a, b, sigma_w, sigma_z)。 使用标准卡尔曼滤波器 (Kalman Filter) (如论文 Appendix B ) 和预测误差分解 (Prediction Error Decomposition) (如论文 Eq. (D.37) )。 """ # 如果 k=0，模型无法运行 if k == 0: # 返回一个非常小的似然 return -np.inf # 获取当前参数下的状态空间矩阵（以参数为输入，避免依赖实例状态） A, B, C, D = self.get_controller_canonical_form(k, a_coeffs, b_coeffs) # 过程噪声 Sigma (k x k) Sigma = np.zeros((k, k)) Sigma[k-1, k-1] = sigma2_w # 测量噪声 Gamma (1 x 1) Gamma = np.array([[sigma2_z]]) # 初始化卡尔曼滤波器 # 状态 x_t|t-1 x_pred = np.zeros((k, 1)) # 状态协方差 P_t|t-1 P_pred = np.eye(k) * 1e6 total_log_likelihood = 0.0 # 运行卡尔曼滤波器 N 步 for t in range(self.N): y_t = self.y[t] u_t = self.u[t] # --- 预测步 (Prediction) --- # (在 t=0 时，x_pred 和 P_pred 是我们初始化的 x_0|-1, P_0|-1) # --- 计算似然 --- # 预测误差 nu_t y_pred = C @ x_pred + D @ u_t nu_t = y_t - y_pred # 预测误差协方差 S_t S_t = C @ P_pred @ C.T + Gamma S_t_inv = 1.0 / S_t # 累加对数似然 total_log_likelihood += -0.5 * (np.log(2 * np.pi) + np.log(S_t) + (nu_t * S_t_inv * nu_t)) # --- 更新步 (Update) --- # 卡尔曼增益 K_t (k x 1) K_t = P_pred @ C.T * S_t_inv # 更新状态 x_t|t x_update = x_pred + K_t @ nu_t # 更新协方差 P_t|t I_KC = np.eye(k) - K_t @ C P_update = I_KC @ P_pred @ I_KC.T + K_t @ Gamma @ K_t.T # --- 为下一次循环准备预测 (t+1) --- x_pred = A @ x_update + B @ u_t P_pred = A @ P_update @ A.T + Sigma return total_log_likelihood # 返回标量值 def _propose_birth(self): """ 提议一个 "诞生" 转移 (k -> k+1 或 k -> k+2)。 返回包含提议状态和计算接受率所需的对数比率的字典。 """ k = self.current_k current_eigs = self.current_eigenvalues # 决定是诞生一个实数根还是一对复共轭根 can_add_complex = (k + 2) <= self.k_max add_real = True if can_add_complex: # 以0.5的概率选择诞生一对复共轭根 if np.random.rand() < 0.5: add_real = False if add_real: k_new = k + 1 # 从提议分布 q(u) 中采样辅助变量 u = (u_lambda, u_b) u_lambda = np.random.uniform(-1.0, 1.0) # 新特征值 u_b = np.random.normal(0, 1) # 新 b 系数 # 计算对数提议密度 log(q(u)) log_q_forward = -np.log(2.0) + stats.norm.logpdf(u_b, 0, 1) # 计算对数雅可比行列式 log|J| if k == 0: log_det_jacobian = 0.0 else: log_det_jacobian = np.sum(np.log(np.abs(current_eigs - u_lambda))) # 构造新状态 new_eigs = np.append(current_eigs, u_lambda) new_a = np.real(np.poly(new_eigs)[1:][::-1]) new_b = np.append(self.current_b, u_b) # 接受率中的项为 |J| / q(u)，在对数空间中为 log|J| - log(q(u)) log_ratio = log_det_jacobian - log_q_forward return {"k_new": k_new, "a_new": new_a, "b_new": new_b, "log_ratio": log_ratio, "type": "birth_real", "new_eigs": new_eigs} else: # --- 诞生一对复共轭根 (k -> k+2) --- k_new = k + 2 # 采样辅助变量 u = (rho, theta, u_b1, u_b2) rho = np.sqrt(np.random.uniform(0, 1.0)) theta = np.random.uniform(0, np.pi) u_lambda = rho * (np.cos(theta) + 1j * np.sin(theta)) u_b1, u_b2 = np.random.normal(0, 1, 2) # 计算对数提议密度 log(q(u)) log_q_forward = -np.log(np.pi) + stats.norm.logpdf(u_b1, 0, 1) + stats.norm.logpdf(u_b2, 0, 1) # 计算对数雅可比行列式 log|J| # |J| = |product(|u_lambda - lambda_i|^2) * (2*Im(u_lambda))| if k == 0: log_jacobian = np.log(np.abs(2 * u_lambda.imag)) else: log_jacobian = np.sum(np.log(np.abs(u_lambda - current_eigs)**2)) + \ np.log(np.abs(2 * u_lambda.imag)) # 构造新状态 new_eigs = np.append(current_eigs, [u_lambda, np.conjugate(u_lambda)]) new_a = np.real(np.poly(new_eigs)[1:][::-1]) new_b = np.append(self.current_b, [u_b1, u_b2]) log_ratio = log_jacobian - log_q_forward return {"k_new": k_new, "a_new": new_a, "b_new": new_b, "log_ratio": log_ratio, "type": "birth_real", "new_eigs": new_eigs} def _propose_death(self): """ 提议一个 "消亡" 转移 (k -> k-1 或 k -> k-2)。 返回包含提议状态和计算接受率所需的对数比率的字典。 """ k = self.current_k current_eigs = self.current_eigenvalues # 识别出可移除的实数根和复共轭对 real_eigs_indices = np.where(np.isreal(current_eigs)) complex_eigs_indices = np.where((np.iscomplex(current_eigs)) & (current_eigs.imag > 0)) #type: ignore can_remove_real = len(real_eigs_indices) > 0 can_remove_complex = len(complex_eigs_indices) > 0 if not can_remove_real and not can_remove_complex: return None # 无法执行消亡 # 决定是移除实数根还是复共轭对 remove_real = True if can_remove_real and can_remove_complex: if np.random.rand() < 0.5: remove_real = False elif can_remove_complex: remove_real = False if remove_real: # --- 消亡一个实数根 (k -> k-1) --- k_new = k - 1 # 1. 随机选择一个实数根移除 idx_to_remove = np.random.choice(real_eigs_indices) lambda_removed = current_eigs[idx_to_remove] # 移除的根和b系数构成了逆向（诞生）提议的辅助变量 u u_lambda = lambda_removed u_b = self.current_b[-1] # 2. 计算逆向提议的对数密度 log(q(u)) log_q_reverse = -np.log(2.0) + stats.norm.logpdf(u_b, 0, 1) # 3. 计算对应诞生过程的对数雅可比行列式 log|J| remaining_eigs = np.delete(current_eigs, idx_to_remove) if k_new == 0: log_jacobian_birth = 0.0 else: log_jacobian_birth = np.sum(np.log(np.abs(u_lambda - remaining_eigs))) # 构造新状态 new_a = np.real(np.poly(remaining_eigs)[1:][::-1]) new_b = self.current_b[:-1] # 接受率中的项为 q_reverse(u) / |J_birth|，在对数空间中为 log(q_reverse) - log|J_birth| log_ratio = log_q_reverse - log_jacobian_birth return {"k_new": k_new, "a_new": new_a, "b_new": new_b, "log_ratio": log_ratio, "type": "death_real", "new_eigs": remaining_eigs} else: # --- 消亡一对复共轭根 (k -> k-2) --- k_new = k - 2 # 随机选择一对共轭根移除 complex_idx_to_remove = np.random.choice(complex_eigs_indices) lambda_removed = current_eigs[complex_idx_to_remove] # 找到其共轭对 conjugate_idx_to_remove = np.where(current_eigs == np.conjugate(lambda_removed)) # 逆向提议的辅助变量 u u_lambda = lambda_removed u_b1, u_b2 = self.current_b[-2:] # 计算逆向提议的对数密度 log(q(u)) log_q_reverse = -np.log(np.pi) + stats.norm.logpdf(u_b1, 0, 1) + stats.norm.logpdf(u_b2, 0, 1) # 计算对应诞生过程的对数雅可比行列式 remaining_eigs = np.delete(current_eigs, [complex_idx_to_remove, conjugate_idx_to_remove]) if k_new == 0: log_jacobian_birth = np.log(np.abs(2 * u_lambda.imag)) #type: ignore else: log_jacobian_birth = np.sum(np.log(np.abs(u_lambda - remaining_eigs)**2)) + \ np.log(np.abs(2 * u_lambda.imag)) #type: ignore # 构造新状态 new_a = np.real(np.poly(remaining_eigs)[1:][::-1]) new_b = self.current_b[:-2] log_ratio = log_q_reverse - log_jacobian_birth return {"k_new": k_new, "a_new": new_a, "b_new": new_b, "log_ratio": log_ratio, "type": "death_complex", "new_eigs": remaining_eigs} def _log_prior_b(self, b_coeffs): """ 计算 C_c 系数 (b_0, ..., b_{k-1}) 的对数先验概率。 根据论文 4.2 节，我们使用独立标准正态先验。 b_i ~ N(0, 1) """ # return stats.norm.logpdf(b_coeffs, 0, 1).sum() def _generate_stable_a(self, k): """ 生成 k 个稳定的 a = [a_0, a_1, ..., a_{k-1}] 系数, 并保存对应的特征值。 该方法基于论文 4.1.1 节 [cite: 314-320] 和 6.2 节 的讨论， 生成 k 个稳定的特征值 (根)，然后使用维塔定理 (Proposition 4.1) [cite: 290] 计算多项式系数。 为确保系数a为实数，特征值必须是实数或复共轭对 。 """ eigenvalues = [] i = 0 while i < k: # 如果 k-i > 1，随机决定采样一个实数根还是一个复共轭对 # 如果 k-i == 1，则只能采样一个实数根 if i == k - 1 or np.random.rand() < 0.5: # --- 1. 采样一个实数根 --- # 使用 "Uniform real-eigenvalue prior" (在 (-1, 1) 上均匀分布) real_eig = np.random.uniform(-1.0, 1.0) eigenvalues.append(real_eig) i += 1 else: # --- 2. 采样一个复共轭对 --- # 使用 "Polar-coordinate prior" (极坐标先验) # 为确保在单位圆盘内面积均匀，rho = sqrt(U(0,1)) rho = np.sqrt(np.random.uniform(0, 1.0)) # theta 在 (0, pi) 均匀分布 (上半平面) theta = np.random.uniform(0, np.pi) # 计算复特征值 complex_eig = rho * (np.cos(theta) + 1j * np.sin(theta)) # 添加该值及其共轭 eigenvalues.append(complex_eig) eigenvalues.append(np.conjugate(complex_eig)) i += 2 # --- 3. (维塔定理) 从根计算多项式系数 --- # np.poly(roots) 返回 [1, a_{k-1}, a_{k-2}, ..., a_0] coefficients_descending = np.poly(eigenvalues) # 返回 [a_0, a_1, ..., a_{k-1}] a_coefficients = coefficients_descending[1:][::-1] self.current_eigenvalues = np.array(eigenvalues) # 顺便保存特征值 return np.real(a_coefficients) def _generate_observable_b(self, k): """ 生成 b = [b_0, ..., b_{k-1}] 系数 (共 k 个)。 """ b_array = np.random.normal(0, 1, size=k) return b_array def get_controller_canonical_form(self, k=None, a_coeffs=None, b_coeffs=None): """ 返回给定参数的规范型 (Controller Canonical Form) 矩阵 A_c, B_c, C_c, D_c。 如果提供了 k、a_coeffs、b_coeffs，则使用这些输入（使函数成为纯函数）； 否则回退到实例的当前状态（向后兼容）。 """ # 回退到实例状态以保持向后兼容 if k is None: k = self.current_k if a_coeffs is None: a_coeffs = self.current_a if b_coeffs is None: b_coeffs = self.current_b # k=0 是无效情况，但 k=1 时 np.diag(np.ones(0), 1) 会创建一个空 1x1 矩阵 if k == 0: return np.array([]), np.array([]), np.array([]), np.array([[0.0]]) # 1. 构造 A_c (k x k) # 先创建一个 k x k 的零矩阵 A_c = np.zeros((k, k)) if k > 1: # 创建上对角线为 1 np.fill_diagonal(A_c[0:-1, 1:], 1) # 填充最后一行 # 确保 a_coeffs 的形状/长度与 k 匹配 a_arr = np.asarray(a_coeffs).ravel() if a_arr.size != k: raise ValueError(f"a_coeffs length {a_arr.size} does not match k={k}") A_c[-1, :] = -a_arr # 2. 构造 B_c (k x 1) B_c = np.zeros((k, 1)) B_c[-1] = 1 # 3. 构造 C_c (1 x k) b_arr = np.asarray(b_coeffs).ravel() if b_arr.size != k: raise ValueError(f"b_coeffs length {b_arr.size} does not match k={k}") C_c = b_arr.reshape(1, k) # 4. 构造 D_c (1 x 1) # 论文 Definition 3.1 包含 d_0 ，但实验中设为 0 D_c = np.array([[0.0]]) return A_c, B_c, C_c, D_c def _log_prior_full(self, k, a_coeffs, b_coeffs, sigma2_w, sigma2_z): """计算所有参数的完整对数先验。""" log_prior_k = -np.log(self.k_max - self.k_min + 1) if k > 0: poly_coeffs = np.concatenate(([1], -a_coeffs[::-1])) eigenvalues = np.roots(poly_coeffs) log_prior_a = self._log_prior_eigenvalues_to_a(eigenvalues) else: log_prior_a = 0.0 log_prior_b = self._log_prior_b(b_coeffs) precision_w = 1.0 / sigma2_w precision_z = 1.0 / sigma2_z log_prior_w = stats.gamma.logpdf(precision_w, a=self.lambda_a_w, scale=1.0/self.lambda_b_w) log_prior_z = stats.gamma.logpdf(precision_z, a=self.lambda_a_z, scale=1.0/self.lambda_b_z) return log_prior_k + log_prior_a + log_prior_b + log_prior_w + log_prior_z def _log_posterior(self, k, b_coeffs, sigma2_w, sigma2_z, a_coeffs=None, eigenvalues=None): """计算给定参数下的完整对数后验概率。""" # 1. 计算先验 log_prior_k = -np.log(self.k_max - self.k_min + 1) if eigenvalues is not None: log_prior_a = self._log_prior_eigenvalues_to_a(eigenvalues) a_coeffs = self._cal_current_a_coeffs(eigenvalues) elif a_coeffs is not None: if k > 0: eigenvalues = self._cal_current_eigenvalues(a_coeffs) log_prior_a = self._log_prior_eigenvalues_to_a(eigenvalues) else: log_prior_a = 0.0 else: raise ValueError("Either a_coeffs or eigenvalues must be provided.") if log_prior_a == -np.inf: return -np.inf log_prior_b = self._log_prior_b(b_coeffs) precision_w = 1.0 / sigma2_w precision_z = 1.0 / sigma2_z log_prior_w = stats.gamma.logpdf(precision_w, a=self.lambda_a_w, scale=1.0/self.lambda_b_w) log_prior_z = stats.gamma.logpdf(precision_z, a=self.lambda_a_z, scale=1.0/self.lambda_b_z) log_prior = log_prior_k + log_prior_a + log_prior_b + log_prior_w + log_prior_z # 2. 计算似然 log_likelihood = self._log_likelihood(k, a_coeffs, b_coeffs, sigma2_w, sigma2_z) return log_prior + log_likelihood def _merge_eigenvalues(self): """合并游动：选择两个实数根，确定性地合并为一个复共轭对。""" k = self.current_k current_eigs = np.copy(self.current_eigenvalues) # 随机选择两个不同的实数根 real_indices = np.where(np.isclose(current_eigs.imag, 0)) idx1, idx2 = np.random.choice(real_indices, 2, replace=False) lambda1, lambda2 = current_eigs[idx1].real, current_eigs[idx2].real # 确定性映射 -> 新的复共轭对 a = (lambda1 + lambda2) / 2.0 b = abs(lambda2 - lambda1) / 2.0 new_complex_pair = [a + 1j*b, a - 1j*b] # 构造提议的特征值集合 proposal_eigs = np.delete(current_eigs, [idx1, idx2]) proposal_eigs = np.append(proposal_eigs, new_complex_pair) # 检查稳定性 if np.any(np.abs(proposal_eigs) >= 1.0): return # 计算接受率 # a. 计算后验比 log_post_current = self._log_posterior(k, self.current_b, self.current_sigma2_w, self.current_sigma2_z, self.current_a, eigenvalues=current_eigs) a_proposal = np.real(np.poly(proposal_eigs)[1:][::-1]) log_post_proposal = self._log_posterior(k, self.current_b, self.current_sigma2_w, self.current_sigma2_z, a_proposal, eigenvalues=proposal_eigs) # b. 计算提议比和雅可比项 # 正向 (merge): 确定性，q_forward = 1 # 逆向 (split): 需要一个辅助变量 u，我们设计 u ~ Beta(2, 2) 在 (0, 1) 上 # 对应的雅可比行列式 |J| = 2b # 完整的对数项为 log(q_reverse / q_forward * 1/|J|) = log(q_reverse) - log|J| log_proposal_ratio = stats.uniform.logpdf(0.5, -1, 1) - np.log(2*b) # u=0.5 in reverse log_acceptance_ratio = (log_post_proposal - log_post_current) + log_proposal_ratio # 接受或拒绝 if np.log(np.random.rand()) < log_acceptance_ratio: self.current_a = a_proposal self.current_eigenvalues = proposal_eigs def _split_eigenvalues(self): """分裂游动：选择一个复共轭对，随机地分裂为两个实数根。""" k = self.current_k current_eigs = np.copy(self.current_eigenvalues) # 随机选择一个复共轭对 complex_indices = np.where((~np.isclose(current_eigs.imag, 0)) & (current_eigs.imag > 0)) idx_c = np.random.choice(complex_indices) lambda_c = current_eigs[idx_c] a, b = lambda_c.real, lambda_c.imag # 映射到两个实数根 u = np.random.beta(2, 2) lambda1 = a + b * u lambda2 = a - b * u new_real_pair = [lambda1, lambda2] # 构造提议的特征值集合 idx_c_conj = np.where(np.isclose(current_eigs, np.conjugate(lambda_c))) proposal_eigs = np.delete(current_eigs, [idx_c, idx_c_conj]) proposal_eigs = np.append(proposal_eigs, new_real_pair) # 检查稳定性 if np.any(np.abs(proposal_eigs) >= 1.0): return # 计算接受率 # a. 计算后验比 log_post_current = self._log_posterior(k, self.current_b, self.current_sigma2_w, self.current_sigma2_z, self.current_a, eigenvalues=current_eigs) a_proposal = np.real(np.poly(proposal_eigs)[1:][::-1]) log_post_proposal = self._log_posterior(k, self.current_b, self.current_sigma2_w, self.current_sigma2_z, a_proposal, eigenvalues=proposal_eigs) # b. 计算提议比和雅可比项 # 正向 (split): 随机，q_forward = p(u) # 逆向 (merge): 确定性，q_reverse = 1 # 雅可比行列式 |J| = 2b # 完整的对数项为 log(q_reverse / q_forward * |J|) = -log(q_forward) + log|J| log_proposal_ratio = -stats.beta.logpdf(u, 2, 2) + np.log(2*b)