""" 知识卡片内容 - 包含时域、频域、根轨迹分析的公式和方法 使用纯HTML格式，无需LaTeX渲染库 """ # 时域分析知识卡片 TIME_DOMAIN_KNOWLEDGE = """

📚 时域分析常用公式

📐 二阶系统标准形式

标准传递函数：

G(s) =
ωn2
s2 + 2ζωns + ωn2

📊 关键参数

参数 含义 影响
ζ (zeta) 阻尼比 控制超调量和振荡
ωn 无阻尼自然频率 (rad/s) 决定响应速度

🎯 阻尼比分类

  • ζ < 0: 不稳定系统
  • ζ = 0: 无阻尼振荡
  • 0 < ζ < 1: 欠阻尼（有振荡）⭐ 最常见
  • ζ = 1: 临界阻尼（无超调）
  • ζ > 1: 过阻尼（响应慢）
📊 时域性能指标（欠阻尼系统）
1️⃣ 上升时间 (Rise Time, tr)

响应从 10% 上升到 90% 终值所需时间

tr ≈
1.8
ωn
2️⃣ 峰值时间 (Peak Time, tp)

响应达到第一个峰值的时间

tp =
π
ωn√(1−ζ²)
=
π
ωd

其中 ωd = ωn√(1−ζ²) 为阻尼振荡频率

3️⃣ 超调量 (Overshoot, σ%)

响应超过稳态值的最大百分比

σ% = e−πζ/√(1−ζ²) × 100%

💡 仅与 ζ 有关！

ζ = 0.5 σ% ≈ 16%
ζ = 0.707 σ% ≈ 4.3% ⭐ 最佳
4️⃣ 调节时间 (Settling Time, ts)

响应达到并保持在稳态值 ±2%（或±5%）范围内的时间

ts ≈
4
ζωn
  (2% 误差带)
ts ≈
3
ζωn
  (5% 误差带)
🎯 一阶系统特性

标准传递函数：

G(s) =
K
τs + 1

阶跃响应：

y(t) = K(1 − e−t/τ)

💡 关键时间点：

  • t = τ: 达到稳态值的 63.2%
  • t = 3τ: 达到稳态值的 95%
  • t = 4τ: 达到稳态值的 98.2%
  • t = 5τ: 达到稳态值的 99.3%
""" # 频域分析知识卡片 FREQUENCY_DOMAIN_KNOWLEDGE = """

📚 频域分析常用方法

🎯 增益裕度 (Gain Margin, GM)

定义：在相角为 -180° 时，系统增益可增加的最大倍数

GMdB = −20log10|G(jωpc)|

ωpc - 相角交越频率（相角 = -180°）

判断准则

GM > 0 dB ✅ 系统稳定
GM = 0 dB ⚠️ 临界稳定
GM < 0 dB ❌ 系统不稳定

💡 工程要求：通常要求 GM ≥ 6 dB（约2倍增益余量）

🎯 相角裕度 (Phase Margin, PM)

定义：在增益为 1 (0dB) 时，系统相角与 -180° 的差值

PM = 180° + ∠G(jωgc)

ωgc - 增益交越频率（幅值 = 1 或 0dB）

判断准则

PM > 0° ✅ 系统稳定
PM = 0° ⚠️ 临界稳定
PM < 0° ❌ 系统不稳定

💡 工程要求：通常要求 PM ∈ [30°, 60°]

• PM ≈ 45° ~ 60°: 良好阻尼特性

• PM 越大，超调量越小

与时域性能的关系

ζ ≈
PM
100
  (PM 以度为单位)
PM ζ 超调量
30°≈ 0.3≈ 37%
45°≈ 0.45≈ 20%
60°≈ 0.6≈ 10% ⭐
📊 Bode 图与 Nyquist 图

Bode 图（伯德图）

组成：幅频特性图 + 相频特性图

  • 横轴：频率 ω (对数刻度)
  • 纵轴（幅频）：20log|G(jω)| (dB)
  • 纵轴（相频）：∠G(jω) (度)

💡 优点：

  • 便于绘制（渐近线近似）
  • 直观读取稳定裕度
  • 串联系统可图形叠加

Nyquist 图（奈奎斯特图）

定义：开环频率特性在复平面上的轨迹

🎯 奈奎斯特稳定判据：

Z = P − N

• Z: 闭环右半平面极点数
• P: 开环右半平面极点数
• N: 曲线逆时针包围 (−1, j0) 的圈数

稳定条件：Z = 0

🔧 典型环节频率特性

1️⃣ 比例环节 K

• 幅频：20logK (dB) - 水平线
• 相频：0° - 水平线

2️⃣ 积分环节 1/s

• 幅频：-20dB/dec 斜率
• 相频：-90° - 水平线

3️⃣ 惯性环节 1/(Ts+1)

• 转折频率：ω = 1/T
• 幅频：低频 0dB，高频 -20dB/dec
• 相频：0° → -90°

""" # 根轨迹分析知识卡片 ROOT_LOCUS_KNOWLEDGE = """

📚 根轨迹分析要点

🎯 根轨迹基本概念

定义：当开环增益 K 从 0 → ∞ 变化时，闭环特征方程根（极点）在 s 平面上的运动轨迹

特征方程

1 + KG(s)H(s) = 0

主要作用

  • ✅ 直观显示增益对极点位置的影响
  • ✅ 判断系统稳定性
  • ✅ 选择合适的增益值
  • ✅ 设计控制器参数
📐 根轨迹绘制基本条件

1️⃣ 幅值条件（充要条件）

|KG(s0)H(s0)| = 1

💡 用途：确定增益 K 的值

2️⃣ 相角条件（充要条件）

∠G(s0)H(s0) = (2k+1) × 180°

其中 k = 0, ±1, ±2, ...

💡 用途：判断 s 平面某点是否在根轨迹上

🌟 根轨迹基本性质
规则 内容
起点 K=0，位于开环极点
终点 K→∞，位于开环零点或无穷远
分支数 max(n, m)，n=极点数，m=零点数
实轴段 右侧零极点总数为奇数的区段
渐近线数 n − m 条
渐近线角度 φa = (2k+1)×180°/(n−m)
渐近线交点 σa = (Σp − Σz)/(n−m)
🛡️ s 平面稳定性区域
区域 条件 稳定性
左半平面 Re(s) < 0 ✅ 稳定
虚轴 Re(s) = 0 ⚠️ 临界稳定
右半平面 Re(s) > 0 ❌ 不稳定

💡 虚轴（x=0）即为稳定性边界

根轨迹穿越虚轴点对应临界增益 Kc

📏 阻尼比等值线

从原点出发的射线代表恒定阻尼比 ζ 的轨迹：

θ = arccos(ζ)
阻尼比 ζ 角度 θ 系统特性
0.5 60° 欠阻尼，较大超调
0.707 45° ⭐ 最佳阻尼

💡 工程应用：通过根轨迹与阻尼比等值线的交点，选择满足性能要求的增益 K

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